演算法解密：搜尋、推薦、導航背後的秘密

演算法(Algorithm)是什麼?演算法應用的例子與場景

我們每天都在不知不覺中與演算法(Algorithm)互動著！從搜尋引擎快速找到需要的資訊，到社群媒體上看到的精準推薦，甚至導航系統幫你規劃最短路線，這些都仰賴著精巧的演算法運作。但究竟什麼是演算法呢？簡單來說，演算法就是解決問題的一系列步驟，就像食譜一樣，一步一步地引導你達成目標。 它是一種精確的指令序列，電腦可以根據這些指令進行運算和處理資料，最終輸出我們想要的结果。 這篇文章將帶你深入淺出地了解演算法的定義，並透過搜尋引擎、社群媒體推薦以及導航系統等生活化的例子，讓你輕鬆理解演算法的應用場景與實際運作方式。準備好探索這個充滿奧妙的數位世界吧！

什麼是演算法？

我們每天都在不知不覺中使用著演算法，從早上起床沖泡咖啡到晚上規劃隔天的行程，都隱含著演算法的邏輯。那麼，究竟什麼是演算法呢？簡單來說，演算法就是解決問題的一系列步驟或指令，是一套精確且有限的步驟序列，用於將輸入轉換為預期輸出。它就像一個詳細的食譜，告訴你一步一步如何完成某項任務，例如製作一盤美味的菜餚。

想像一下，你想要煮一鍋香噴噴的番茄肉醬義大利麵。你不會隨便亂加食材和調味，而是會遵循一定的步驟：先準備食材、將洋蔥爆香、加入番茄醬和肉末燉煮，最後再拌入煮好的義大利麵。這個步驟序列，就是烹飪番茄肉醬義大利麵的演算法。如果步驟順序錯了，或是缺少某個步驟，最後的成果可能就會大打折扣。 同樣的道理，電腦程式也是根據演算法來運作的，只是電腦程式中的演算法更為複雜和精確，需要考慮到各種不同的情況和錯誤處理。

演算法不僅存在於廚房裡，也在我們生活的方方面面發揮著至關重要的作用。想想你每天使用的搜尋引擎，它如何從浩瀚的網路資料中，迅速地找出你需要的資訊？這背後依靠的就是高效的搜尋演算法，它能分析你的關鍵字，並根據相關性、權重等因素，快速篩選出最符合你需求的結果。再例如，你喜歡的社群媒體平台是如何推薦你可能感興趣的文章或影片的？這同樣是演算法在發揮作用，它會分析你的瀏覽記錄、喜好以及你朋友的動態，然後預測你可能感興趣的內容，並將其推薦給你。你每天使用的導航軟體，如何規劃出最快速、最便捷的路線？這也是演算法的功勞，它會根據路況、交通流量等因素，計算出最佳的路線規劃方案。

尤瓦爾·赫拉利（Yuval Noah Harari）在其著作中，也深入探討了演算法在當今社會日益增長的重要性。他指出，演算法正在成為一種新的權力形式，影響著我們的生活方式、消費習慣、甚至政治觀點。演算法的應用範圍已遠遠超出了我們日常生活的想像，它在金融交易、醫療診斷、氣象預報等領域都扮演著越來越重要的角色。

一個好的演算法應該具備幾個重要的特性：正確性（必須能產生正確的結果）、效率（必須能在合理的時間內完成任務）、可行性（必須能夠在實際環境中實現）以及清晰性（必須易於理解和實現）。就如同一個好的食譜，需要清楚地列出食材和步驟，讓即使是烹飪新手也能輕鬆地按照步驟完成烹飪。而一個糟糕的演算法則可能導致程式運行緩慢、結果錯誤甚至程式崩潰。

除了烹飪食譜，樂譜也是一個很好的演算法例子。樂譜上的音符、節奏、和弦等，按照特定的順序排列，就構成了一首樂曲的演算法。演奏者根據樂譜上的指示，一步一步地演奏，才能準確地再現作曲家的創作意圖。如果演奏者不按照樂譜上的順序演奏，或者錯過了某些音符，那麼演奏出來的樂曲就會與原曲有所偏差，甚至完全走樣。

總之，演算法是我們生活中不可或缺的一部分，它不僅是電腦科學的核心概念，也與我們的日常生活息息相關。理解演算法的基本原理，能幫助我們更好地理解這個世界，以及我們所使用的各種科技產品。

接下來，我們將更深入地探討演算法在搜尋引擎、社群媒體推薦和導航系統中的具體應用案例，讓你更直觀地感受到演算法的神奇魅力。

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演算法的設計與基本步驟

設計一個演算法，就像設計一個精密的機器，需要仔細考慮每個步驟，才能確保它能有效率地完成任務。這個過程可以分解成幾個關鍵步驟，我們將透過一些生活化的例子來一步步理解。

首先，定義輸入和輸出至關重要。這就像在開始建造房子之前，先決定需要建多大的房子，以及需要什麼樣的房間。 演算法的輸入是指演算法開始運作時所需要的資料，而輸出則是演算法運作完成後所產生的結果。 例如，一個計算旅行總支出的演算法，輸入可能是：交通費用、住宿費用、餐費等等；輸出則是旅行的總支出金額。另一個例子，一個計算棋盤遊戲下一步最佳走法的演算法，輸入可能是：棋盤的當前狀態（每個棋子的位置）、遊戲規則；輸出則是最佳的下一步走法。

• 步驟一：明確問題與目標： 在設計演算法之前，務必先清楚地定義問題是什麼，以及演算法最終想要達到的目標。例如，我們想設計一個演算法來計算一個數字的階乘，那麼問題就是「計算階乘」，目標就是「得到該數字的階乘」。 如果目標不夠明確，設計出來的演算法可能無法有效解決問題。
• 步驟二：定義輸入： 明確演算法需要哪些輸入資料。 例如，計算階乘的演算法需要一個正整數作為輸入。 這個輸入的資料類型、範圍和格式都需要被精確地定義，以避免演算法在處理不符合規範的輸入時發生錯誤。 舉例來說，如果設計一個計算平均成績的演算法，輸入可能是多個學生的分數，這些分數必須是數字，不能是文字或其他類型。
• 步驟三：定義輸出： 明確演算法需要產生什麼輸出資料。例如，計算階乘的演算法需要輸出一個正整數，即該數字的階乘值。輸出資料的類型、格式也需要被精確地定義。 同樣地，計算平均成績的演算法，輸出應該是一個數字，代表所有學生的平均成績。
• 步驟四：細分步驟，逐步求解： 將問題分解成一系列小的、易於理解和實現的步驟。這就像把一個複雜的任務分解成許多小的子任務一樣。 例如，計算一個數字的階乘，可以分解成以下步驟：
  • 檢查輸入是否為正整數。
  • 如果輸入為0，則輸出1。
  • 如果輸入大於0，則從1開始，依次乘以2、3、直到輸入的數字。
  • 輸出最終的乘積。

  這個細分的過程，讓演算法的設計變得更清晰、更易於理解和實現。 對於更複雜的演算法，例如設計一個導航系統，需要細分出尋找路線、計算距離、避開擁堵路段等等步驟。

• 步驟五：選擇合適的資料結構： 根據問題的特性和輸入資料的結構，選擇合適的資料結構來儲存和處理資料。 例如，如果需要儲存一組數字，可以使用陣列或連結串列；如果需要儲存鍵值對，可以使用字典或雜湊表。 選擇適當的資料結構可以提高演算法的效率。
• 步驟六：驗證與測試： 設計完成後，需要進行充分的測試，以驗證演算法的正確性和效率。 這包括測試各種不同的輸入資料，以及檢查演算法在不同情況下的表現。 例如，對於計算階乘的演算法，需要測試0、1、2、10等等不同的輸入，以確保演算法在所有情況下都能正確地計算出結果。 對於導航系統，則需要測試不同起點和終點、不同路況下的導航效果。

透過這些步驟，我們可以設計出一個有效、可靠且易於理解的演算法。 無論是計算旅行支出，還是設計棋盤遊戲的 AI，遵循這些步驟都能幫助我們更好地解決問題，並創造出更精妙的程式。

演算法的應用範疇

演算法無所不在，它不只是電腦科學家的專利，更是現代生活中不可或缺的一部分。從我們每天使用的網路服務，到看似複雜的科學研究，演算法都扮演著至關重要的角色，默默地提升效率、簡化流程，甚至影響我們的決策。

網路搜尋是最顯而易見的應用之一。當你在搜尋引擎輸入關鍵字時，例如「台灣最佳牛肉麵」，引擎並不會簡單地逐字比對網頁內容。事實上，它運用了一套複雜的演算法，考量數百萬甚至數十億個網頁的相關性、權重、使用者評價等等因素，在極短的時間內，為你呈現最符合你需求的搜尋結果。這些演算法不斷演進，力求更精準地理解你的搜尋意圖，並提供更優質的使用者體驗。例如，Google 的 PageRank 演算法，就曾經是搜尋結果排序的重要指標，它透過分析網頁之間的連結關係，來評估網頁的重要性。

社群媒體也大量運用演算法來改善使用者體驗。想想你每天看到的 Facebook、Instagram 或 Twitter 的動態消息，這些訊息並非按照發布時間順序排列，而是根據演算法的判斷，呈現你可能感興趣的內容。這些演算法會分析你的喜好、互動行為、追蹤對象等等數據，預測你可能想看到的貼文、影片或廣告，進而提高你的參與度和使用時間。例如，Facebook 的新聞動態演算法會考量貼文的內容、發布者的關係、你的過去互動行為等多個因素，來決定哪些貼文應該優先顯示。

導航系統則運用演算法來規劃最佳路線。你使用 Google Maps 或 Apple Maps 規劃行程時，系統會根據即時路況、交通限制、距離等因素，計算出最快或最短的路線。這背後涉及了圖形演算法、最短路徑演算法等複雜的數學計算。這些演算法不僅能有效地規劃路線，還能即時調整路線，以應對突發狀況，例如塞車或道路施工。

機器學習是近年來備受關注的領域，它也高度依賴演算法。機器學習的本質就是讓電腦從數據中學習，並建立預測模型。例如，垃圾郵件過濾器就是一個典型的機器學習應用，它會根據郵件內容的關鍵字、發送者地址、郵件標題等特徵，來判斷郵件是否為垃圾郵件。這類演算法能不斷學習，並隨著數據的增加而提高準確率。

除了上述例子外，演算法還廣泛應用於醫療診斷、金融交易、氣象預報、自動駕駛等領域。在醫療診斷方面，演算法可以分析醫學影像，輔助醫生進行診斷；在金融交易方面，演算法可以進行高頻交易，並管理風險；在氣象預報方面，演算法可以分析氣象數據，預測天氣變化；在自動駕駛方面，演算法可以讓車輛感知環境，並做出決策。

演算法的應用不僅能提高工作效率，還能自動化許多重複性的工作，例如自動化的數據處理、文件分類等等。更重要的是，演算法能支持決策制定。藉由分析大量的數據，演算法可以提供更客觀、更科學的依據，幫助我們做出更明智的決策。例如，在商業領域，演算法可以分析銷售數據，預測未來趨勢，幫助企業制定更有效的營銷策略。

總而言之，演算法的應用已滲透到我們生活的方方面面，它不僅是技術的基石，更是推動社會進步的重要動力。理解演算法的基本概念，有助於我們更好地理解這個科技時代，並在這個充滿數據和資訊的時代做出更明智的選擇。

• 網路搜尋：提升搜尋精準度，提供更相關的結果。
• 社群媒體：個人化內容推薦，提高使用者參與度。
• 導航系統：規劃最佳路線，提升效率。
• 機器學習：從數據中學習，建立預測模型。
• 醫療診斷、金融交易、氣象預報、自動駕駛：應用於各個領域，提升效率及準確性。

演算法的不同類型

了解演算法的定義後，我們可以更進一步探討演算法的多樣性。並非所有演算法都相同；它們在解決問題的方法和效率上存在著顯著差異。根據其解決問題的策略，演算法可以被劃分為不同的類型，以下我們將介紹幾種常見的類型，並說明其特性與應用場景。

1. 回溯法 (Backtracking)

想像一下你正在解一個迷宮，你會嘗試一條路，如果走不通，就退回到上一個岔路口，再嘗試另一條路。這就是回溯法的核心思想：嘗試所有可能的解決方案，如果一個方案行不通，就回退到之前的步驟，再嘗試其他的可能性。回溯法是一種暴力搜索的策略，它保證能找到所有可能的解，或證明解不存在。然而，由於它需要探索所有可能性，因此在處理大型問題時效率可能較低。

應用場景：

• N 皇后問題： 在 8×8 的棋盤上放置 8 個皇后，使得任何兩個皇后都不能互相攻擊（同一行、同一列或同一對角線）。回溯法可以系統地嘗試所有可能的皇后擺放位置，找到所有滿足條件的解。
• 圖形搜索： 在圖形中尋找特定路徑或所有路徑。例如，在迷宮中尋找出口，可以使用回溯法探索所有可能的道路。
• 子集求和問題： 給定一個數字集合，找到一個子集使得子集元素之和等於目標值。

2. 貪婪法 (Greedy Algorithm)

貪婪法是一種在每一步選擇局部最優解的策略，期望最終能得到全局最優解。它並不像回溯法那樣窮盡所有可能性，而是在每個步驟中做出看似最佳的選擇，而不考慮未來的影響。貪婪法簡單易懂，效率高，但在許多情況下，它只能得到近似解，而不是絕對最優解。

應用場景：

• 哈夫曼編碼： 一種數據壓縮算法，它根據符號的出現頻率，貪婪地選擇頻率最低的兩個符號進行合併，直到所有符號都被合併成一個樹。
• 最小生成樹： 在一個帶權圖中，找到一個連通所有節點且權重總和最小的樹。Prim 算法和 Kruskal 算法都是基於貪婪法的最小生成樹算法。
• 活動選擇問題： 給定一系列活動，每個活動都有起始時間和結束時間，選擇盡可能多的不互相衝突的活動。

3. 動態規劃 (Dynamic Programming)

動態規劃是一種將複雜問題分解成更小的、重疊的子問題，並通過儲存子問題的解來避免重複計算的策略。它通常用於解決最優化問題，例如尋找最短路徑、最大收益等。動態規劃需要仔細分析問題的結構，找到子問題之間的遞歸關係，並設計一個有效的儲存和訪問子問題解的方式。

應用場景：

• 最短路徑問題： 例如弗洛伊德-沃歇爾演算法和貝爾曼-福特演算法，都可以用動態規劃來高效地解決。
• 背包問題： 給定一個背包有一定的容量，以及一些物品，每個物品都有重量和價值，如何選擇物品放入背包以使價值最大化？
• 編輯距離： 計算兩個字串之間的最小編輯距離（插入、刪除或替換操作的次數）。

除了以上幾種，還有許多其他的演算法類型，例如分治法、分支限界法等。每種演算法都有其自身的優缺點和適用場景。選擇合适的演算法取决于问题的性质和对效率的要求。 了解不同演算法的特性，能幫助我們更好地解決各種計算問題，並提升程式設計的效率與效能。

深入理解這些演算法類型，並了解它們的優缺點和適用場景，將有助於你更有效地解決各種計算問題，進而提升你的程式設計能力。

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結論與未來展望

我們已經探索了演算法的定義、其在搜尋引擎、社群媒體推薦和導航系統中的應用，並透過生活化的例子深入淺出地了解其運作方式。從這些例子中，我們可以看出演算法不僅僅是冰冷的程式碼，更是驅動現代科技發展的核心力量，深刻地影響著我們的生活。

演算法的意義不僅在於解決問題，更在於其效率和優化。一個高效的演算法可以節省時間、資源，甚至改變人們的生活方式。例如，高效的搜尋引擎演算法讓我們可以快速找到需要的資訊；精準的社群媒體推薦演算法可以讓我們接觸到感興趣的內容；精密的導航系統演算法可以讓我們便捷地到達目的地。這些都體現了演算法的巨大價值。

展望未來，隨著科技的飛速發展，演算法的應用將更加廣泛和深入。人工智慧、大數據和雲端運算等新興技術的興起，為演算法的發展提供了新的動力和方向。我們可以預見，未來演算法將在更多領域發揮作用，例如：

• 醫療保健：演算法可以幫助醫生更準確地診斷疾病，制定個性化的治療方案，提高醫療效率和效果。例如，影像識別演算法可以輔助醫生分析醫療影像，提高癌症檢測的準確率。
• 金融科技：演算法可以用于風險評估、欺詐偵測、投資策略優化，提高金融機構的效率和安全性。例如，信用評分模型就是一種基於演算法的信用評估系統。
• 環境保護：演算法可以幫助我們分析氣候數據，預測自然災害，優化能源消耗，促進可持續發展。例如，預測氣候變化的模型就是基於複雜的演算法。
• 智慧城市：演算法可以應用於交通管理、資源分配、公共安全等領域，提高城市運作效率和居民生活品質。例如，智慧交通系統可以通過演算法優化交通流量，減少交通擁堵。
• 自動駕駛：自動駕駛汽車的研發和應用離不開複雜的演算法，這些演算法需要處理大量的感測器數據，做出實時的決策，確保駕駛安全。

然而，隨著演算法應用範圍的擴大，也帶來了一些新的挑戰。例如，演算法的公平性、透明性和安全性等問題需要引起我們的重視。如何確保演算法的結果公正，避免歧視；如何提高演算法的透明度，讓使用者了解演算法的運作機制；如何保障演算法的安全性，防止被濫用或攻擊，都是未來需要解決的重要課題。

因此，學習和應用演算法已不再是電腦科學家的專利，而是成為每一個人的必備技能。理解演算法的基本原理，了解其應用場景和潛在風險，將幫助我們更好地應對未來科技發展帶來的挑戰和機遇。 只有在充分了解演算法的基礎上，我們才能更好地利用它，讓科技更好地服務於人類，創造一個更美好的未來。 對於學生而言，積極學習演算法相關知識，將為未來的職業發展奠定堅實的基礎；對於一般大眾而言，提升對演算法的認知，將幫助我們更理性地看待和使用科技產品，更好地適應科技時代的生活。

總而言之，演算法的發展和應用前景廣闊，但同時也需要我們不斷地探索和完善。只有不斷提升演算法的效能、公平性和安全性，才能讓它真正造福人類社會。我們應該積極參與到演算法的研究和應用中，共同推動演算法的發展，創造一個更美好的未來。

常見問題快速FAQ

什麼是演算法？它與我的日常生活有什麼關係？

演算法其實就是解決問題的一系列步驟。你可以把它想像成食譜：輸入是食材，步驟是烹飪方法，輸出就是美味的料理！又或者像樂譜，輸入是音符，步驟是演奏方法，輸出就是美妙的音樂。 演算法在我們生活中無處不在，從你使用的導航軟體規劃路線，到社群媒體推薦你感興趣的內容，甚至你每天早上沖泡咖啡的步驟，都包含著演算法的邏輯。 著名歷史學家尤瓦爾·赫拉利 (Yuval Noah Harari) 的著作也提到，演算法正在深刻地影響著現代社會的運作方式，影響著我們獲取資訊、與人互動和做出決策的方式。

學習演算法需要多深的數學基礎？

學習演算法不需要成為數學家！雖然演算法的基礎是數學，但理解基本概念和應用並不需具備高等數學知識。 很多演算法的邏輯可以用淺顯易懂的方式解釋，例如，我們可以透過簡單的例子，像計算旅行總支出或玩棋盤遊戲，來理解演算法的設計過程。 重點在於理解演算法的邏輯和步驟，而不是複雜的數學證明。當然，更深入的學習需要更紮實的數學基礎，但入門階段並不需要。

演算法在未來會有什麼樣的發展趨勢？

隨著科技的快速發展，演算法的應用領域將持續拓展。例如，在人工智慧、機器學習等領域，演算法扮演著越來越重要的角色，驅動著自動駕駛、醫療診斷和精準行銷等技術的革新。 未來，我們可以期待更有效率、更智能化的演算法，幫助我們解決更複雜的問題，並提升生活品質。 學習和了解演算法，將有助於你更好地適應未來科技發展的趨勢，並在這個領域中找到更多機會。

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演算法(Algorithm)是什麼?演算法應用的例子與場景
什麼是演算法（Algorithm）？
在哈拉瑞的書《人類大命運：從智人到神人》中，他提到現在演算法「大概是世界上最重要的概念」。的確，從 Google 搜尋的排列順序到銀行的金融交易，生活中許多事都是由演算法主導。那麼，到底什麼是演算法呢？
「演算法是一系列有條理的步驟，能用於計算、解決問題、做出決定。」 – 《人類大命運：從智人到神人》
演算法的重點在於，如果環境和輸入不變，每次執行同一組指令時， 會得到相同的輸出。除了電腦程式之外，食譜和樂譜也是演算法的例子。
演算法，簡單來說，就是解決問題的一種具體步驟或者規則的集合。這些步驟都是明確且有組織的，並且必須在有限的時間內完成。當給定特定輸入時，演算法應該產生預期的結果或輸出。
《星際大戰》演算法遊戲
想親身體驗演算法的話，不妨試試看這款《星際大戰》遊戲。
在遊戲中，你必須設定一組指令，才能引導 BB-8 機器人拿到廢金屬。這其實就是設計演算法的核心，建立一組指令來達到特定結果。下面我們將討論演算法的設計。
設計演算法
在設計演算法前，必須清楚定義輸入和輸出：

舉例來說，烤蛋糕時，你首先需要正確份量的原料（輸入），之後你會按照食譜（演算法）製作，最後烤出蛋糕（輸出）。
現在就用幾個例子來了解如何設計好的演算法。
例1：一起去度假吧！
假設你需要規畫和朋友一起出國旅行。你如何計算每個人需要花多少錢呢？
這是我們的輸入和輸出：
輸入：旅行期間的支出項目、每個項目的費用、旅行天數、朋友人數
輸出：每個人的旅行總花費
我們看一下背後的邏輯：我必須先算出一個人的花費，方法是加總旅行每個項目的費用，同時考量旅行天數。最後，我必須將一個人的總花費乘以參與旅行的總人數。
以下是演算法：
Step 1：旅行每個項目的費用（每人/每天）乘以天數
Step 2：將以上費用加總，再加上機票費用（一次性費用，而非每日支出）
Step 3：將每人費用乘以朋友人數
例2：騎士走棋盤
我們看另一個例子。在西洋棋裡，騎士的走法為「L」形，如下圖所示。

在「騎士走棋盤」遊戲中，你必須移動騎士走過棋盤上每一格。花 5 分鐘從這裡玩這個遊戲。試看看能不能每一格只走一次。
你想出的策略是什麼呢？一個可行策略是運用一種稱為「回溯法」（backtracking）的演算法，意思是隨機移動騎士，直到無法繼續移動到其他方格為止（或者所有方格都已經走過）。之後將騎士移回前一個位置，嘗試不同的路線。依此不斷重複，直到為騎士找到最佳的路線為止。
演算法看起來會像下表：
Step 1：移動騎士到新方格
Step 2：沒有其他可走方格，將騎士移回前一個位置
Step 3：重複步驟 1 直到騎士走過所有方格
如何知道自己的演算法是否正確？
檢測演算法的方式之一是將輸出未知的輸入放進演算法中。從輸出結果可以觀察演算法的效用，看看演算法是否產生理想輸出。如果沒有的話，我們能觀察輸出的規律，進而修正演算法，直到獲得理想輸出為止。

為什麼我們需要演算法
解決問題與改善效率：演算法是我們處理資訊，解決問題和進行決策的關鍵工具。他們可以幫助我們更有效率地完成任務，減少時間和資源的浪費。
應用範疇廣泛：從網路搜索、社交媒體的內容推薦，到機器學習和人工智慧，無處不在的演算法都在背後默默運作，大大擴展了我們處理資訊的能力。
實現自動化與智慧化：在大數據時代，演算法不僅能自動化地處理大量資訊，還能從中學習並優化自己的運作，實現智慧化。
支持決策制定：在商業、科學、醫療等領域，演算法可幫助我們對大量數據進行分析和挖掘，從而提供有價值的見解和支持決策。

演算法種類
演算法就和問題一樣有許多種類。以下是電腦科學領域常見的幾種演算法：
簡單遞迴演算法 (Simple recursive algorithms:)：這些演算法使用遞迴計算來找答案。這個方法用於解決古典問題，例如「計算到 n 次方」。
回溯法 (Backtracking)：為了找到解決方法，一個問題先劃分為多個計算用的路徑。如果路徑方向錯誤，便回到上一個位置，從另一個方向開始計算。常見的使用案例需要從大量數據中找到特定資訊。這個方法通常用來找出每一條路徑。如果一條路徑不包含目標資訊，則演算法會回到上一個連接點。
動態法 (Dynamic)： 這個演算法的獨特之處在於演算法會記憶之前解決過的問題，並藉由之前解決問題的經驗更快找到類似問題的解決方法。如果之前你計算過 n 的 1,000,000 次方，這個演算法不需從頭重新計算，而是能根據之前計算 n 的 1,000,001 次方的答案，更快找到解答。
分而治之法 (Divide and conquer)：排序是分而治之演算法常見的類型。這種演算法將一系列數字切分為多個部分，然後在每個部分進行比較排序。所有部分之後合併起來，整個組合會再次進行比較排序。這種方法的操作速度比只排序不分割的演算法還要快上好幾倍。
暴力法 (Brute force)：這是駭客最常使用的演算法。如果駭客想要駭入你的帳戶，大概會一次就嘗試所有可能的密碼組合。之所以稱為暴力演算法，是因為這個方法靠電腦速度暴力破解密碼。
貪婪法 (Greedy)：貪婪演算法和暴力演算法類似。這個解決方法會根據當前狀況，找出最佳解決方法，常用來尋找與決定行駛路線。演算法不會計算抵達目的地的所有可能路線，只選擇距離下一個檢查點最短的路線，而且不會考慮檢查點之後的其他路線。
演算法的應用
在這裡我們收集了幾個我們生活常碰到，而且有趣的演算法，請參考這幾個外部連結。
排列 (Sorting) – 如何把千多本書排列順序？
秘書問題 (Secretary Problem) – 如果你要聘請一名秘書，總共有 n 個申請者。每次只能面試一人，面試後要馬上決定是否聘他，如果當時決定不聘他，就再沒有機會。問：要面試幾個人，才最有機會選中最合適的人選？解決這個問題的方法，叫「最佳停止演算法」(Optimal Stopping Algorithm).
PageRank – How Search Work by Google – Google 最早的是用 PageRank 這個演算法去判斷如何排列用戶搜尋的結果。
EdgeRank – Facebook 動態消息 (Newsfeed) 早期以一個叫 EdgeRank 的演算法來判斷用戶看到什麼訊息。這篇文章可以幫助你了解更多有關 EdgeRank。
演算法的應用場景：以計算平均股價為例
計算平均股價－未使用演算法
說明：假設有過去 100 天的股價，但只需要最近 20 天的平均股價，這段程式的確能計算出最後 20 天的平均價格，卻導致浪費了 80 個空間去儲存不需要的股價資料。如果要計算的數字越多，就會浪費更多的空間。
計算平均股價－使用演算法‍
說明：這段程式碼跟前一段相比，多加了宣告，把 list 變成固定長度，length 設為 20，最新的數字會把舊的數字蓋掉。所以不管股價資料幾筆，所需的執行空間都固定。如果拿評估演算法效能的指標 Big-O 來看，這個作法就是達到了空間複雜度 Ｏ(1) 的理想狀況。
從上述舉例可得知，演算法能提高程式碼的執行效率。特別是當使用者規模或資料量達一定程度時，應用演算法提升程式的效能就變得非常重要。
如何評估演算法？
演算法除了能否正確解決問題之外，還有「好、壞」之分嗎？答案是有的。不同的演算法，雖然都能正確達成目標，但還是有效能 (efficiency) 之分。主要的考量點有兩個：
時間複雜度 (Time complexity) – 它代表一個演算法的執行時間。針對同一個問題，有些演算法會比別的用更短的時間(也是更快速)去解決問題。
空間複雜度 (Space complexity) – 它指的是要執行該演算法 (或是程式碼) 所需的記憶體量。
BigO Notation
可以理解，效能越好的演算法，它所需要的時間會越短、空間也越少。衡量時間、空間複雜度的方法我們叫 “Big O notation” ：是一種在數學和計算機科學中用來描述一個函數成長率的符號。在計算機科學中，我們通常用 Big O 表示法來評估和比較不同演算法的效率。
Big O 表示法主要聚焦在演算法的最壞情況性能，也就是輸入資料量最大時的情況。我們主要看的是當輸入大小 n 開始增大，演算法執行時間如何增長。
以下是一些常見的 Big O 時間複雜度：
O(1)：常數時間複雜度。不論輸入大小如何，此類演算法的執行時間都保持不變。
O(log n)：對數時間複雜度。隨著輸入資料的增加，演算法的執行時間會以對數的方式增加。著名的二分搜尋就是一個時間複雜度為 O(log n) 的例子。
O(n)：線性時間複雜度。演算法的執行時間與輸入大小呈直線關係。舉例來說，一個簡單的 for 迴圈，從頭到尾掃過一個陣列的操作，就是 O(n)。
O(n log n)：線性對數時間複雜度。這是一種介於線性和二次方之間的時間複雜度。著名的快速排序就是一個時間複雜度為 O(n log n) 的例子。
O(n^2)：二次方時間複雜度。當輸入大小 n 倍增，演算法執行時間會變為原來的四倍。經典的泡沫排序就是一個時間複雜度為 O(n^2) 的例子。
O(n!)：階乘時間複雜度。這類型的時間複雜度是所有最慢的，並且當 n 超過一定的大小後，這種算法幾乎不能在實際中使用。旅行銷售員問題的暴力求解就是一個時間複雜度為 O(n!) 的例子。
經典演算法例子
1. SVM演算法（Space vector modulation 支援向量機）
應用：主要用於分類問題，也可用於回歸。
原理：在特徵空間中尋找最佳超平面，以最大化不同類別之間的間隔。
特點：適合於高維數據集，對於非線性問題可以通過核技巧進行處理。
2. Minimax演算法
應用：主要用於零和遊戲，如象棋或圍棋。
原理：通過最小化對手可能獲得的最大收益來最大化自己的最小收益。
特點：常與Alpha-Beta剪枝一起使用，以提高效率。
3. ID3（Iterative Dichotomiser 3）
應用：用於創建決策樹，主要用於分類問題。
原理：使用信息增益作為分割數據的標準。
特點：易於理解和實現，但容易過擬合，且不支持連續屬性和缺失值處理。
4. C4.5
應用：是ID3的改進版，用於生成決策樹。
原理：使用增益比率來選擇特徵，克服了ID3對於特徵值數量偏多的屬性有偏好的問題。
特點：支持連續屬性的處理，對缺失值具有一定的容錯性。
5. Apriori演算法
應用：廣泛用於關聯規則學習，特別是在市場籃分析中。
原理：通過尋找頻繁項集來構建規則，基於這樣的假設：頻繁項集的子集也是頻繁的。
特點：簡單且直觀，但對大數據集效率較低。
6. EM（期望最大化）
應用：用於處理包含隱藏變量的統計問題，如聚類分析和最大似然估計。
原理：通過迭代地進行兩個步驟來最大化數據的似然函數：期望步驟（E步）和最大化步驟（M步）。
特點：適用於數據不完整或有隱藏變量的情況，但對初始值選擇敏感，可能陷入局部最優。
每種演算法都有其獨特的應用場景和特點，並在機器學習和數據分析的不同領域發揮著重要作用。理解這些演算法的原理和用途對於開發有效的數據驅動應用至關重要。
演算法書推薦
入門科普類
《寫程式前就該懂的演算法: 資料分析與程式設計人員必學的邏輯思考術》 ： 透過生動的插圖與實例，將演算法的複雜概念化為簡單易懂的知識。本書涵蓋基礎至進階演算法，適合程式設計新手與專業人員。透過詳解與練習題，讀者能夠深化對演算法的理解，提升解決問題的能力。
《改變世界的九大演算法》：淺顯介紹了塑造當代數位生活關鍵技術的九種演算法。從搜尋引擎、網頁排序到公鑰加密和數位簽章，這本書透過易懂的語言揭示了每日應用背後的科學原理。無需資訊科學背景，讀者可洞察這些技術如何定義我們的數位世界，感受到科學家與數學家的創新與探索。是理解現代技術不可或缺的閱讀。
專業書籍
演算法導論《Introduction to Algorithms》：這本書是演算法領域的經典之作。全面而深入地介紹了從基礎數據結構到複雜演算法設計與分析的各項知識。無論是學術研究還是實際應用，書中詳細的解釋和豐富的範例都讓它成為了程式設計師和電腦科學學生的必讀書籍。
《The Algorithm Design Manual》：由Steven S. Skiena撰寫，提供了一個實用的指南，專注於解決實際問題的演算法設計與應用。Skiena教授不僅詳細介紹了演算法的理論基礎，還著重於如何將這些理論應用於解決日常生活中的問題。這本書以其親切的語言和豐富的實例，幫助讀者深入理解演算法設計的藝術，是程式設計師和系統分析師的實用工具書。
演算法學習 Q&A
Q：學習演算法之前，需要有什麼樣的基礎嗎？
演算法算是獨立學問，不太需要基礎知識，但由於會使用 Big-O 來分析演算法效率，分析時會用到高中數學知識，如指數、對數等，所以還是要理解一些高中數學，假設真的忘了，碰到時再回頭補上即可。
Q：演算法會因程式語言不同而有差異嗎？
95% 邏輯是一樣的，但根據語言特性，實作細節寫法可能有點不同。如果要從零開始準備演算法面試，提供兩個面向供參考：
選擇自己最熟悉的語言練習演算法：絕大多數公司在面試演算法時，不會要求使用的程式語言，因此可以用自己最拿手的程式語言來準備
若無特別熟悉的程式語言，建議可以用 C 語言來學習演算法：由於 C 語言是很原始的程式語言，如果用 C 寫得出演算法，基本上其他語言也寫得出來
無論如何，程式語言只是工具，在準備演算法面試時，建議使用自己最拿手的武器去應戰。
Q：網路開發新手在做 side project 時，如何導入演算法思維？
其實蠻困難的，因為絕大多數前端應用軟體都用不到演算法，再者如果沒有演算法的概念，也無從應用起。只有當你具備演算法基礎知識時，做 project 才有機會用到演算法，因此在做 side project 時，可以反問自己：有沒有更棒的程式寫法。
Q：演算法學習路徑？
1. 選擇一個網站或平台：選擇一個網站或平台，例如 LeetCode、HackerRank、Codeforces 或 TopCoder 等，這些平台提供了各種演算法練習題目和解答，可以幫助你練習演算法和提高編程能力。
2. 選擇一個語言：選擇一個你熟悉且喜歡的程式語言，例如 C++、Java、Python 或 JavaScript 等，這些語言都可以用來編寫演算法。
3. 練習基本演算法：練習基本的演算法，例如排序、搜索、數據結構等，這些演算法是學習更複雜演算法的基礎。
4. 解決算法問題：解決算法問題，例如 LeetCode 或 HackerRank 上的題目，這些題目可以幫助你練習演算法和編程能力，並提高解決問題的能力。
5. 實現和優化演算法：實現和優化學習的演算法，例如實現一個搜索算法、優化一個排序算法或編寫一個機器學習模型等。
6. 參加競賽和挑戰：參加編程競賽、刷題、挑戰和解答問題等，可以幫助提高演算法和程式技能，並學習更多的演算法和數據結構。